Przykłady ze statystyki matematycznej

Zobacz zadania i polecenia!

o działaności Plus Projekt
o działaności Plus Projekt

Wiesz, jak to rozwiązać?
Jeśli odpowiedź brzmi „nie”, napisz do mnie, a wyśle takie zadania na mail do nauki własnej! Sprawnie i w krótkim czasie!


Sprawdź rozwiązane zadania na unikalnym kanale korepetytorskim na platformie YouTube. Zapraszam:

Zadanie 1.
Zmienna losowa X ma rozkład : P(X = -2)= 0,3 ; P(X = 1)=0,1 ; P(X=2)=0,4 ; P(X=4)= 0,2 . Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.

Zadanie 2.
Dzienna sprzedaż paliwa na pewnej stacji Benz jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym N(3700,250). Oblicz prawdopodobieństwo:
a) P(2500 b) P(3500 c) dzienna sprzedaż paliwa przekroczy 4250L.

Zadanie 3.
W partii owoców cytrusowych na 220 zbadanych sztuk znaleziono 35 owoców zepsutych. Na poziomie ufności 0,98 oszacować procent owoców zepsutych w tej partii cytrusów.

Zadanie 4.
Automat dozujący napełnia puszki z farbą. Na poziomie ufności 0,95 oszacować średnią wagę puszek z farbą, jeżeli losowo wybrana próba 6 puszek miała wagę (w g. ) 489, 503, 499, 492, 501, 504. Przyjmijmy, że waga puszek z farbą ma rozkład normalny. Ile należy puszek wybrać losowo do badania, aby oszacować średnią wagę puszek z farbą z dokładnością do 3g?

Zadanie 5.
Dla zbadania wysokości wynagrodzenia pracowników zatrudnionych w przemyśle samochodowym wylosowano próbę 180 pracowników i obliczono dla nich: średnią płacę 4200zł, odchylenie standardowe płac 550zł. Przyjmując współczynnik ufności 0,97 oszacować średnią płacę pracowników przemysłu samochodowego.

Zadanie 6.
Zmienna losowa ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem lambda. Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymator tego parametru. Z próby o wartościach 2.1 3.2 4.5 2.8 2.9 3.0 wyznaczyć parametr lambda. .

Zadanie 7.
W celu zbadania średnich rocznych wydatków na czekoladę wśród uczniów szkół podstawowych wylosowano 61 uczniów i obliczono średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe. Uzyskano następujące rezultaty: średnie wydatki: 42zł, a odchylenie standardowe z próby: 10. Dla współczynnika istotności 1-α=0,9 wyznaczyć przedział ufności dla średnich rocznych wydatków na czekoladę.

Zadanie 8.
Na plantacji roślin ozdobnych wylosowano 30 kwiatów z różnych chryzantem tej samej odmiany. W wyniku przeprowadzonych pomiarów ustalono, że przeciętna średnica kwiatu wynosi 15 cm, zaś jej wariancja z próby 20,25cm2. Na poziomie ufności 1-α=0,95 wyznaczyć przedział ufności dla oczekiwanej średnicy kwiatów na tej plantacji.


Zadanie 9.
Przeprowadzona badania liczby samochodów przejeżdżających przez pewne skrzyżowanie między godziną 8 a 9 rano. Przez 27 dni prowadzono i ustalono, że średnio w ciągu jednej godziny przejeżdża przez to skrzyżowanie 97 samochodów, a wariancja wynosi 12. Na poziomie ufności 1-α=0,99 wyznaczyć przedział ufności dla średniej liczby samochodów przejeżdżających przez to skrzyżowanie.

Zadanie 10.
Zmierzono wytrzymałość 120 losowo wybranych gotowych elementów konstrukcji budowlanych i otrzymano następujące wyniki (w MPa): średnia = 340, odchylenie stand. = 12. Zakładając, że rozkład wytrzymałości tych elementów jest rozkładem normalnym, wyznaczyć 95% przedział ufności dla wartości średniej m. Jak liczną próbkę należy zbadać by maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 5 MPa?

Zadanie 11.
Przeprowadzono 36 pomiarów pojemności kondensatorów z danej partii produkcyjnej, i otrzymano średnią 18nF. Rozkład pojemności kondensatorów w partii przyjmujemy za normalny. Skonstruować 90% i 95% przedział ufności (obustronny) dla średniej, gdy:
a) odchylenie standardowe w populacji jest znane, równe 1 nF
b) odchylenie standardowe w populacji jest nieznane, a odchylenie standardowe z próbki wyniosło 1nF.

Zadanie 12.
W ciągu pierwszych 6 dni lipca 2003r zmierzono temperaturę powietrza w pewnej miejscowości uzyskując następujące wyniki (w stopniach Celsjusza): 27, 25, 17, 22, 24, 20. Zakładając, że temperatura w lipcu w tej miejscowości ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym 10, na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średnia temperatura w lipcu 2003 była tam wyższa niż 24 stopnie.

Zadanie 13.
W zeszłym roku na skoczni w Zakopanem skoczkowie skakali średnio na odległość 105m. W tym roku, pierwszych 5 skoczków w kolejności alfabetycznej uzyskało następujące wyniki: 82, 112, 124, 134, 93. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnia odległość skoków w tym roku będzie taka sama jak w roku ubiegłym, gdy hipotezą alternatywną jest, że w tym roku wynik będą lepsze.

Zadanie 14.
Czas montowania pewnego elementu w pralce jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Norma techniczna przewiduje na tę czynność 6 minut, natomiast wśród znawców istnieje pogląd, że ten czas jest zbyt krótki Obliczono, że w grupie 25 robotników średni czas montowania tego elementu wynosi 6 min 20 sek. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować przypuszczenie fachowców, przy założeniu, że odchylenie stand. wynosi 1 min 30 s.

Zadanie 15.
Istnieje przypuszczenie, że koncentracja potrzebna do wykonania określonego zadania jest mniejsza wieczorem. Niech zmienna X oznacza ilość błędów w teście na koncentrację pisanego rano natomiast Y ilość błędów w teście pisanego wieczorem. Wykonano test na koncentracje dla losowej próby 10 elementowej. (Zakładamy, ze próba była jednorodna): Wyniki obu prób podano poniżej:
x: 10 12 8 9 7 8 11 9 4 0
y : 12 12 9 10 10 9 11 10 5 1
Zakładając normalność zmiennych X i Y na poziomie istotności 0,05 zweryfikować to przypuszczenie.

Zadanie 16.
Pewna firma wprowadziła na rynek nowy model czajnika. Diagnostycy firmy badali czas bezawaryjnej pracy pewnej części otrzymując wyniki (w miesiącach):
Egzemplarze wyprodukowane wiosną: 4, 5, 6, 4, 7, 8
Egzemplarze wyprodukowane latem: 6, 5, 6, 6
Egzemplarze wyprodukowane jesienią: 4, 5, 6
Egzemplarze wyprodukowane zimą: 7, 7, 9, 4, 7
Zakładając normalność rozkładów i jednorodność wariancji sprawdź, czy moment produkcji istotnie różnicuje średni czas bezawaryjnej pracy badanej części czajnika.

Zadanie 17.
W celu porównania przeciętnych zarobków firmy A i firmy B wylosowano dwie próby uzyskując następujące wyniki:
A: 1500 1800 2100 1900 1850 2200 2500 950
B: 2200 2500 3000 3100 2800 1900 2100 2800 3100 2800
Zakładając normalność zmiennej losowej oznaczającej zarobki w firmie A oraz normalność zmiennej losowej oznaczającej zarobki w firmie B sprawdzić przypuszczenie, że zarobki w firmie B są wyższe niż zarobki w firmie A.

Zadanie 18.
Poniżej zestawiono dane odnośnie ilości minut spędzanych dziennie na czytanie prasy codziennej przez studentów w pewnym mieście:
– fizyki : 20, 11, 10, 15, 25.
– biologii : 13, 7, 7, 6, 12, 3, 7, 9.
– socjologii : 16, 9, 12, 17, 11, 15.
Sprawdź, czy kierunek studiów znacząco wpływa na czas spędzany na czytanie prasy codziennej. Załóż normalność rozkładu i jednorodność wariancji. Przyjmij poziom istotności alfa =10%.

Zadanie 19.
Wśród wybranych osób korzystających z Internetu przeprowadzono sondę dotyczącą czasu spędzanego dziennie na przeglądaniu ulubionych stron. Otrzymano wyniki (w minutach):
-strony o tematyce sportowej : 65, 33, 54, 67, 65.
-strony o tematyce politycznej : 55, 53, 71, 34, 49, 54, 66, 81.
– strony o tematyce filmowej : 45 50 21 25 70 30
Zakładając normalność rozkładów i jednorodność wariancji sprawdź, czy tematyka sportowa cieszy się takim samym zainteresowaniem jak tematyka polityczna i tematyka filmowa? Przyjąć alfa = 0.05

Zadanie 20.
Poniżej zestawiono dane odnośnie ilości pewnego trunku spożywanego rocznie przez przedstawicieli kilku krajów (dane w litrach):
-Japończycy : 3, 5, 11, 8, 9, 11.
-Belgowie : 2, 1, 7, 6, 12, 3, 17, 9.
-Katarczycy : 1, 9, 1, 0, 5, 4.
-Finowie : 3, 0 ,4, 6, 7, 8
-Kazachowie : 6, 9, 2, 1, 1, 5.
Zakładając normalność rozkładu i jednorodność wariancji, sprawdź, czy narodowość istotnie wpływa na popularność tego trunku.

Zadanie 21.
Za pomocą testu chi-kwadrat zbadać, czy dane z poniższej tabeli mają rozkład Poissona:
X 0 1 2 3 4
Liczność 75 50 35 20 10
Aby porównać, czy podany wyżej rozkład empiryczny (zaobserwowany) jest zgodny z rozkładem Poissona należy wykonać test zgodności chi2.

Zadanie 22.
Z populacji, w której badana cecha ma nieznaną dystrybuantę F, pobrano próbkę o liczności 200. Otrzymane wynik podzielono na 10 równych klas:
Klasy liczności
45-45,5 23
45,5-46 19
46-46,5 25
46,5-47 18
47-47,5 17
47,5-48 24
48-48,5 16
48,5-49 22
49-49,5 20
49,5-50 16
Na poziomie istotności 0,05 za pomocą testu chi-kwadrat zweryfikować hipotezę, że F jest dystrybuantą rozkładu równomiernego (jednorodnego) na przedziale (45,50).

Zadanie 23.
Wyznaczono liczby błędów przy korekcie 500-stronicowej książki:
Liczba błędów 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczba stron 67 139 134 90 44 15 6 4 1
Zweryfikować na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że liczba błędów ma rozkład Poissona.

Zadanie 24.
Z populacji pobrano 1000-elementową próbkę i wyniki jej badania ze względu na pewną cechę zebrano w tabeli: Przedział 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
Liczność 2 273 280 292 110 34 7 2
Na poziomie istotności 0,01 za pomocą testu chi-kwadrat zweryfikować hipotezę, że badana cecha ma rozkład normalny.

Zadanie 25.
Z populacji pobrano 500-elementową próbkę i wyniki jej badania ze względu na pewną cechę zebrano w tabeli: Przedział 2-2,5 2,5-3 3-3,5 3,5-4 4-4,5 4,5-5
Liczność 30 51 173 190 40 16
Na poziomie istotności 0,05 za pomocą testu chi-kwadrat zweryfikować hipotezę, że badana cecha ma rozkład normalny.

Zadanie 26.
Zbadać na poziomie istotności 0,01 czy dane zawarte w poniższej tabeli mają rozkład Poissona:
Wartość 0 1 2 3 4 5
Liczność 30 50 150 200 80 20

Zadanie 27.
W tabeli zamieszczono wyniki badań koloru oczy oraz wagi mężczyzn.
niebieskie zielone brązowe
60-70 kg 25 40 20
70-80 kg 35 35 40
80-90 kg 15 45 25
90-100 kg 25 20 35
Zbadać, czy te cechy są niezależne.

Zadanie 28.
W badaniu postaw konsumentów, które objęło 400 osób, 160 badanych przyznało, że czas nadawania reklam telewizyjnych w trakcie oglądania programów wykorzystuje na przygotowanie herbaty lub inne czynności. Oszacować metodą przedziałową procent osób unikających oglądania reklam, przyjmując współczynnik ufności 0,97.

Zadanie 29.
Spośród bywalców pewnego centrum handlowego wylosowano do próby niezależnie 300 osób i zapytano je, czy znana jest im firma Sony? 180 pytanych odpowiedziało twierdząco. Oszacować metodą przedziałową procent klientów centrum, znających wspomnianą markę, przyjmując współczynnik ufności 0,85.

Zadanie 30.
Pracownia badań statystycznych chce oszacować frekwencję w wyborach samorządowych w pewnym województwie. Oszacowanie może mieć błąd 3 punktów procentowych z prawdopodobieństwem 0,95. Jak liczna musi być próba, jeśli z góry nie wiadomo niczego o wielkości frekwencji?

Zadanie 31.
Spośród studentów pewnej uczelni wylosowano do próby niezależnie 200 osób i zapytano je, czy palą papierosy. 130 studentów odpowiedziało twierdząco. Oszacować metodą przedziałową procent palących studentów tej uczelni, przyjmując współczynnik ufności 0,98.

Zadanie 32.
Wydajność pracy w firmie przeładunkowej „P” (w tonach na godzinę) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 10 ton/godz. i odchyleniem standardowym 4 tony/godz. Pracownicy pracują w zespołach 16-osobowych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrany pracownik z tej firmy pracuje z wydajnością większą niż 13 ton/godz.
b) średnia wydajność zespołu jest większa niż 13 ton/godz.

Zadanie 33.
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem m = 3. Podać wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y= – 2X – 2.

Zadanie 34.
Podać teoretyczny i rzeczywisty zakres zmienności zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z parametrem m = 1,6.

Zadanie 35.
Jaka jest zależność miedzy długością przedziału ufności dla wartości przeciętnej, a liczebnością próby i poziomem ufności.

Zadanie 36.
Niezależne zmienne losowe X1, X2,..,X50 mają rozkład Poissona z wartością przeciętną 2,4. Jaki rozkład ma średnia arytmetyczna utworzona z tych zmiennych losowych? Podać parametry tego rozkładu.

Zadanie 37.
Zmienna losowa X-B(n.p). Jaki rozkład ma zmienna X/n jeśli n > 100.

Zadanie 38.
Wykonano 200 prób Bernoulliego, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0,3. Jaki rozkład i o jakich parametrach ma zmienna losową, którą jest liczba sukcesów w tych próbach.

Zadanie 39.
Zmienna losowa X ma wartość przeciętną równą 15 i wariancję równa 4. Ile wynosi wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej po standaryzacji.

Zadanie 40.
W losowej próbie o liczebności 135 odchylenie standardowe badanej cechy wynosiło 8 a średnia 90. Czy na poziomie 0,05 można przyjąć, że przeciętny poziom cechy jest większy od 89?

Zadanie 41.
Następujący przedział ufności dla frakcji p od 0,19 do 0,29 zbudowany został na poziomie o.95 na podstawie danych z próby 260 elementów. Ocenić przydatność tego szacowania.

Zadanie 42.
Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność w tonach na hektar: średnia = 30 i wariancja =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora jest normalny, oszacować metodą przedziałową przeciętne jego plony na poziomie ufności 1− alfa =0, 95.

Zadanie 43.
W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni.
a) Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9 oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu pracowników.
b) Jak zmieni się przedział ufności, jeżeli przyjmiemy współczynnik ufności na poziomie 0,95.

Zadanie 44.
Dział informatyczny w pewnej firmie nadzoruje cztery systemy. Prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia żaden pracownik firmy nie będzie potrzebował interwencji informatyka wynosi 0,8 dla każdego systemu. Systemy pracują niezależnie od siebie. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa liczby systemów, które w ciągu dnia pracy będą wymagały interwencji informatyka.

Zadanie 45.
Jak liczną próbę należy wylosować z partii liczącej 2000 sztuk rur stalowych, aby oszacować przeciętną średnicę rur z błędem maksymalnym nie przekraczającym 1,2 mm, jeżeli z poprzednich ustaleń wynika, że wariancja średnicy rur wynosiła 2,8 ? Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,9.

Zadanie 46.
W losowo wybranej próbie 100 studentów, 40 osób mieszkało na stałe w Opolu. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,95:
a) Oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Opolem wśród ogółu studentów
b) Określić, o ile osób należy zwiększyć powyższą próbę, aby dwukrotnie wzrosła precyzja oszacowania.

Zadanie 47.
Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych. Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową. Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono, że przeciętna skala wydatków na odzież wynosi 350 zł z odchyleniem równym 30 zł. Wyznaczyć przedział ufności średnich wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji przyjmując poziom ufności 0,95.

Zadanie 48.
Właściciel komisu samochodowego wie z długoletniego doświadczenia, że spośród wystawionych samochodów około 25% ma poważne wady. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród następnych 20 samochodów wziętych w komis najwyżej 6 będzie wykazywało poważne wady.

Zadanie 49.
W pewnym przedsiębiorstwie w dziale płac pracuje 6 kobiet. Prawdopodobieństwo nieprzyjścia do pracy (zwolnienie na siebie lub dziecko) każdej z nich wynosi 0,09. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie osoby są w pracy
b) dwie osoby mają zwolnienie
c) więcej niż trzy osoby mają zwolnienie

Zadanie 50.
Spośród 100 dyskietek 10 ma jakiś defekt. Przy pracy sięgamy losowo w sposób zależny po 5 dyskietek. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
a) dokładnie dwie zepsute zostaną wybrane
b) co najmniej dwie zepsute zostaną wybrane

Jeśli ten spis nic nie pomógł – proszę o wysłanie swoich zadań – w dowolnej formie – na mail, a ja ocenię, czy potrafię je rozwiązać. 🙂
Z wszystkimi propozycjami zadań, proszę o kontakt mailowy.



Sprawdź rozwiązane zadania na unikalnym kanale korepetytorskim na platformie YouTube. Zapraszam:


Jeśli ten spis nic nie pomógł – proszę o wysłanie swoich zadań – w dowolnej formie – na mail, a ja ocenię, czy potrafię je rozwiązać. 🙂
Z wszystkimi propozycjami zadań, proszę o kontakt mailowy.